几何学之父欧几里得

欧几里得(Euclid,c.330-275 BC)古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者。在希腊语中,他的名字的意思是“美好的荣耀”。欧几里得出生于雅典,欧几里德的身世我们知道得很少,当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得,当他还是个十几岁的少年时,就迫不及待地想进入柏拉图学园学习。

几何学之父 欧几里得

亚历山大的欧几里得

主要成就

编写巨著

最早的几何学兴起于的古埃及的土地测量,后经泰勒斯等人传到古希腊的都城,又借毕达哥拉斯学派系统奠基。在欧几里得以前,人们已经积累了许多几何学的知识,然而这些知识当中,存在一个很大的缺点和不足,就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识,公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性,更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想,尤其是几何学理论系统而周详的研究,对几何学知识加以条理化和系统化,成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系。

这就是几经易稿而最终定型的《几何原本》(Element)一书。这是一部传世之作,当时就成为了亚历山大学生的课本。几何学正是有了它,不仅第一次实现了系统化、条理化,而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学,简称欧氏几何。直到今天,他所创作的几何原本仍然是世界各国学校里的必修课,从小学到初中、大学、再到现代高等学科都有他所创作的定律、理论和公式应用。

几何原本

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪到古希腊,一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。

它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论,而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述,使这些远古的数学思想发扬光大。它开创了古典数论的研究,在一系列公理、定义、公设的基础上,创立了欧几里得几何学体系,成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。

全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。

在每一卷内容当中,欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式,即先提出公理、公设和定义,然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。

而在整部书的内容安排上,也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深,从简至繁,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

照欧氏几何学的体系,所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中,对定理的每个证明必须或者以公理为前提,或者以先前就已被证明了的定理为前提,最后做出结论。对后世产生了深远的影响。

几何学之父 欧几里得

几何原本

几何学之父 欧几里得

《几何原本》第一个英文版本,1570,Stanford

其他著作

除了《几何原本》之外,他还有不少著作,可惜大都失传。欧几里得还有另外五本著作流传至今。它们与《几何原本》一样,内容都包含定义及证明。

《已知数》(Data)是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作,体例和《原本》前6卷相近,包括94个命题。指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。

《圆形的分割》(On divisions of figures)现存拉丁文本与阿拉伯文本,论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分,内容与希罗(Heron of Alexandria)的作品相似。

《现象》(Phenomena)是一本关于球面天文学的论文,现存希腊文本。这本书与奥托吕科斯(Autolycus of Pitane)所写的On the Moving Sphere相似。

《反射光学》(Catoptrics)论述反射光在数学上的理论,尤其论述形在平面及凹镜上的图像。可是有人质疑这本书是否真正出自欧几里得之手,它的作者可能是塞翁(Theon of Alexandria)。

《光学》(Optics)早期几何光学著作之一,现存希腊文本。这本书主要研究透视问题,叙述光的入射角等与反射角等。认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得,而且已经散失。

欧几里得大约在公元前300年描述了反射定律。说明光以直线传播,反射角与入射角相等。欧几里得认为光的反射方式就像球从无摩擦表面反射一样,认为光以离散的光线传播,像原子,而不是像波一样连续的。欧几里得认为光是通过眼睛的光线发出的。

几何学之父 欧几里得

反射定律 入射角(θi)=反射角(θr)

小故事

没有捷径

在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯(约410年-485年)的《几何学发展概要》中,就记载着这样一则故事,说的是数学在欧几里得的推动下,逐渐成为人们生活中的一个时髦话题,以至于当时亚里山大国王托勒密一世也想赶这一时髦,学点儿几何学。

虽然这位国王见多识广,但欧氏几何却令他学的很吃力。于是,他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走?”,欧几里得笑道:“抱歉,陛下!学习数学和学习一切科学一样,是没有什么捷径可走的。学习数学,人人都得独立思考,就像种庄稼一样,不耕耘是不会有收获的。在这一方面,国王和普通老百姓是一样的。” 从此,“在几何学里,没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。

量金字塔

又有则故事。那时候,人们建造了高大的金字塔,可是谁也不知道金字塔究竟有多高。有人这么说:“要想测量金字塔的高度,比登天还难!”这话传到欧几里得耳朵里。他笑着告诉别人:“这有什么难的呢?当你的影子跟你的身体一样长的时候,你去量一下金字塔的影子有多长,那长度便等于金字塔的高度!”

没有好处

来拜欧几里得为师,学习几何的人,越来越多。有的人是来凑热闹的,看到别人学几何,他也学几何。斯托贝乌斯(约500)记述了另一则故事,一位学生曾这样问欧几里得:“老师,学习几何会使我得到什么好处?”欧几里得思索了一下,请仆人拿点钱给这位学生。欧几里得说:给他三个钱币,因为他想在学习中获取实利。让他趁早走了。

进一步阅读

  1. Artmann, B. Euclid: The Creation of Mathematics. Springer, New York, 1991
  2. Boyer, C. and Merzbach, U. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Indianapolis, IN, 1991
  3. Heath, T. A History of Greek Mathematics. Dover Publications, Mineola, NY, 1981
  4. Heath, T. Euclid: The Thirteen Books of The Elements. Dover Publications, Mineola, NY, 1956
  5. Mlodinow, L. Euclid's Window: The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace. Touchstone, New York, 2002
  6. ***/euclid/

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