神奇的完全数内容

今天大小吴来和大家讨论一种神奇的数:完全数。

1 亏数、盈数、完全数

我们知道,一个数不管它是素数还是合数,它总有因数。我们记一个正整数的所有因数之和为,那么容易知道对于素数来说,必然有

对于合数来说,必然有

古希腊数学家将与进行比较(实际上,即为一个数的真因数之和,真因数是包括1但不包括这个数本身的因数),称满足

的数为亏数;

满足

的数为盈数;

满足

的数为完全数

举几个简单的例子,对于正整数4、12、6来说,有

则说明4是亏数、12是盈数、6是完全数。

易知,所有的素数必然是亏数。

我们可以对亏数、盈数、完全数这三种数总结如下:

一个正整数 亏数 盈数 完全数
真因数之和 小于 大于 等于
因数之和 小于 大于 等于

可以将“亏”、“盈”理解为将真因数之和相对于自身作差而得到的“缺损”和“盈余”。而恰好既不“缺损”也不“盈余”,真因数之和等于自身的数即为“完全数”,又称“完美数”,“完备数”。

2 有多少完全数?

完全数是非常稀少的,最小的完全数是6,接下来是28,因为

两位数中的完全数有且只有28,而在三位数中仅有496是完全数,往后越来越稀少。数学家笛卡尔曾公开预言:“完全数是不会多的,好比人类一样,要找一个完美的人亦非易事。”

3 偶数完全数

由于目前已知的完全数6、28、496都为偶数,我们现在就来研究一下是偶数的完全数,把偶数分解素因数,得到

这里假定偶数是完全数,则

另一方面,易证因数和函数是积性函数,因此

又因为

因此

因此

这样我们得到了的所有因数之和。

在这里,易知必然是的因数(否则的话,就不是一个整数)。进一步通过观察可知,等式右边有且只有两个的因数,且其中一个已经是它本身,因此只能是一个素数,且

也就是说,是一个能用的形式来表示的素数。那么一开始的偶数完全数可表示为:

其中满足为素数。

对此,我们可以加以验证:

4 完全数与梅森素数

如此一来,我们只需考虑什么时候是素数即可。我们用替换,研究形如的素数,这样的素数称为梅森素数,常见的梅森素数有:

我们发现:当为素数时,似乎也都是素数,这是因为如果不是素数,则必有

这里均是大于1的正整数,因此

因式分解得

因此必然也不是一个素数。

但是反之,当是素数时,却未必是一个素数,比如:

梅森素数非常难寻找。目前人类借助计算机,也仅发现51个梅森素数,最大的是,有24862048位。

因此,实际上,只要找到梅森素数就找到了相对应的完全数,例如:

这也就是为什么完全数那么稀少的原因。

参考文献[1](日)远山启.数学女王的邀请——初等数论入门[M].逸宁译.人民邮电出版社,2020.

神奇的完全数

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